FANDOM


Beviset blev udledet fra bog 1 opg. 54.3 side 177

Vi skal betragte andengradspolynomiumet $ f(x)=ax^2+bx+c $ med diskriminanten d≥0, og vi skal lade $ x_1 $ og :$ x_2 $ være rødderne i polynomiumet. brug formlen for rødderne til at udregne $ x_1+x_2 $ og $ x_1 \cdot x_2 $.

Vi skal herefter udregne: $ a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) $ og vise at det er lig med $ f(x)=ax^2+bx+c $

 :$ ax^2+bx+c=a \cdot (x-x_1)(x-x_2) $

Først ganger vi panteserne sammen, så kommer til at se sådan her ud:

$ ax^2+bx+c=a \cdot (x^2-x \cdot x_2-x \cdot x_1+x_1 \cdot x_2) $

Herefter ganger vi a ind i panteserne, hvilket giver os:

$ ax^2+bx+c=ax^2-ax \cdot x_2-ax \cdot x_1+ax_1 \cdot x_2 $

Og fordi vi har $ -ax \cdot x_2 $ og $ -ax \cdot x_1 $ kan vi derfor sætte det ind $ x_1 $ og $ x_2 $ ind i en pantes, dette giver os:

$ ax^2+bx+c=ax^2-ax(x_1+x_2)+ax_1 \cdot x_2 $

Og da vi ved løsningerne (x) er defineret ved: $ \frac {-b \pm \sqrt{d}} {2a} $

De to løsningernes sum er $ \frac{-b}a $, da

$ \frac {-b + \sqrt{d}} {2a}+\frac {-b - \sqrt{d}}{2a} $ = $ \frac {-b + \sqrt{b^2-4ac}} {2a}+\frac {-b - \sqrt{b^2-4ac}} {2a} $

Under gennembygning